Записките се преместени на нов сайт!

Интензитет на електричното поле на дипол

След като разполагаме с формула за потенциала на електричното поле на дипол, интензитетът на електричното поле може да намерим използвайки, връзката между интензитет и потенциал на електричното поле.

Нека интензитета на електричното поле, създавано от дипола в дадена точка от пространството да представим като сума от два вектора:

E → = E → r + E → a ,

където E → r е вектор с радиално направление, т.е. по правата, съединяваща дадената точка с центъра на дипола, а E → α е вектор с направление перпендикулярно на радиалното. Индексът r означава, че направлението на вектора е свързано с изменение на разстоянието до дипола r , а индексът α - че направлението на вектора е свързано с изменение на ъгъла α между диполния момент и посоката от центъра на дипола към разглежданата точка.

Разстоянието между две близко разположени в радиално направление точки, очевидно е равно на изменението Δ r на разстоянието r . Разстоянието между две близко разположени в перпендикулярно на радиалното направление точки е: r Δ α , където r е разстоянието от тези точки до центъра на дипола, а Δ α е ъгъла, под който се вижда разстоянието между точките от центъра на дипола. Изразявайки връзката между големините на векторите E → r и E → α и изменението Δ ϕ на потенциала в близко разположени по направление на тези вектори точки получаваме:

E r = − Δ ϕ Δ r и E α = − Δ ϕ r Δ α .

Тези формули са приблизителни. Точните стойности на E r и E α са границите на написаните отношения при Δ r → 0 и Δ α → 0 , които граници представляват частни производни на потенциала:

E r = − ∂ ϕ ∂ r и E α = − 1 r ∂ ϕ ∂ α .

Като заместим потенциала на дипола по формулата от предишния въпрос намираме:

E r = − ∂ ∂ r p 4 π ϵ 0 ϵ cos α r 2 = − p cos α 4 π ϵ 0 ϵ ∂ ∂ r r − 2 = 2 p cos α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 и:

E α = − 1 r ∂ ∂ α p cos α 4 π ϵ 0 ϵ r 2 = p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 ∂ cos α ∂ α = p sin α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 .

Или:

E r = 2 p cos α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 и E α = p sin α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 .

От тези формули виждаме, че в точките, разположени по оста на дипола, за които α = 0 :

E r = 2 p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 и E α = 0 ,

а в точките, разположени върху симетралата на дипола, за които α = π / 2 :

E r = 0 и E α = p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 .

И в двата случая вектора на интензитета на електричното поле има посока съвпадаща с посоката на дипола, но върху оста на дипола интензитета на електричното поле има два пъти по-голяма стойност, отколкото в точките от симетралата, намиращи се на същото разстояние. В точките за които: α = π и α = 3 π / 2 , стойностите на интензитета на електричното поле са с противоположен знак, т.е. посоката на вектора на интензитета е обратна на посоката на диполния момент.

Големината на интензитета на електричното поле в произволна точка е:

E = E r 2 + E α 2 = 2 p cos α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 2 + p sin α 4 π ϵ 0 ϵ r 3 2 = p 4 π ϵ 0 ϵ r 3 1 + 3 cos 2 α .

Нека да обърнем внимание още, че големината на интензитета на електричното поле на дипол зависи обратно пропорционално на третата степен на разстоянието от дипола, т.е. намалява по-бързо с разстоянието, в сравнение с интензитета на полето, създавано от точков заряд, който е обратно пропорционален на втората степен на разстоянието.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред