Записките се преместени на нов сайт!

Действия с вектори

Събиране на вектори

Сема на два вектора a →  и b →  наричаме нов вектор, който означаваме с a → + b → , и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.

При правилото на триъгълника построяваме представител AB →  на вектора a →  и представител BC →  на вектора b → , така че върхът B  на представителя на първия вектор да бъде начало на представителя на втория вектор. Тогава насочената отсечка AC → , която съединява началото на AB →  с върха на BC →  е представител на сумата на векторите a → + b → .

При правилото на успоредника се построяват представители AB →  и AD →  на двата вектора с общо начало. После се построява успоредник ABCD , който има за страни тези отсечки. Насочената отсечка AC → , представляваща диагонал на построения успоредник е представител на сумата на векторите a → + b → .

Разбира се, двете правила за построяване на сумата на два вектора са равносилни и водят до един и същи резултат. Кое от правилата ще се използва се избира според случая от съображения за удобство.

Ако двата вектора са зададени с координатите си: a x , a y , a z  и b x , b y , b z   координатите на сумата на векторите са: a x + b x , a y + b y , a z + b z .

Сумата на всеки вектор с нулевия вектор е равна на същия вектор: a → + 0 = a → .

Събирането на вектори е комутативно: a → + b → = b → + a → , т.е. може да се извършва в произволен ред.

Умножение на вектор с число

Произведение на вектор a →  с число k , наричаме нов вектор, който означаваме с k a → . Посоката на произведението k a →  съвпада с посоката на a → , когато числото k  е положително и е противоположна, когато k  е отрицателно. Големината на произведението е равна на произведението от големината на вектора и модула на числото: k a → = k a → .

Ако векторът a →  спрямо дадена координатна система има координати: a x , a y , a z  координатите на произведението са: k a x , k a y , k a z .

При умножаване на вектор с числото нула се получава нулев вектор: 0 a → = 0 , а при умножаване с 1 се получава същия вектор: 1 a → = a → .

При умножение на вектор a →  с -1 се получава вектор, който означаваме с − a → . Този вектор е равен по големина на вектора a →  и има противоположна посока. Този вектор наричаме противоположен вектор на вектора a → . Сумата на даден вектор с неговия противоположен вектор е нулев вектор: a → + − a → = 0 .

Умножението на вектор с число е асоциативно: k l a → = kl a → , за всеки две числа k  и l  и всеки вектор a → .

Изваждане на вектори

Сумата на един вектор a →  с противоположния на друг вектор b →  наричаме разлика на два вектора. Разликата означаваме с: a → − b →  и имаме: a → − b → = a → + − b → .

Ако се построят представители на двата вектора с общо начало, то представител на разликата е насочената отсечка, която съединява върха на втория вектор с върха на първия.

Ако двата вектора са зададени с координатите си спрямо една координатна система, то разликата им има координати: a x − b x , a y − b y , a z − b z .

Скаларно произведение на вектори

Скаларно произведение a → . b →  на два ненулеви вектора a →  и b →  наричаме число, равно на произведението от големините на векторите и косинуса на ъгъла между тях α :

a → . b → = a → . b →   cos α ,

а ако някой от векторите е нулев, скаларното произведение по определение се приема за нула.

Скаларното произведение на вектори е дистрибутивно:

a → . b → + c → = a → . b → + a → . c → .

Ако векторите a →  и b →  са зададени с координатите си спрямо декартова координатна система a x , a y , a z  и b x , b y , b z , скаларното произведение се изразява по формулата:

a → . b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Copyright^© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org