Записките се преместени на нов сайт!
Действия с вектори
Събиране на вектори
Сема на два вектора
a
→
и
b
→
наричаме нов вектор, който означаваме с
a
→
+
b
→
, и който може да се получи по два начина: по правилото на триъгълника или по правилото на успоредника.
При правилото на триъгълника построяваме представител
AB
→
на вектора
a
→
и представител
BC
→
на вектора
b
→
, така че върхът
B
на представителя на първия вектор да бъде начало на представителя на втория вектор. Тогава насочената отсечка
AC
→
, която съединява началото на
AB
→
с върха на
BC
→
е представител на сумата на векторите
a
→
+
b
→
.
При правилото на успоредника се построяват представители
AB
→
и
AD
→
на двата вектора с общо начало. После се построява успоредник
ABCD
, който има за страни тези отсечки. Насочената отсечка
AC
→
, представляваща диагонал на построения успоредник е представител на сумата на векторите
a
→
+
b
→
.
Разбира се, двете правила за построяване на сумата на два вектора са равносилни и водят до един и същи резултат. Кое от правилата ще се използва се избира според случая от съображения за удобство.
Ако двата вектора са зададени с координатите си:
a
x
,
a
y
,
a
z
и
b
x
,
b
y
,
b
z
координатите на сумата на векторите са:
a
x
+
b
x
,
a
y
+
b
y
,
a
z
+
b
z
.
Сумата на всеки вектор с нулевия вектор е равна на същия вектор:
a
→
+
0
=
a
→
.
Събирането на вектори е комутативно:
a
→
+
b
→
=
b
→
+
a
→
, т.е. може да се извършва в произволен ред.
Умножение на вектор с число
Произведение на вектор
a
→
с число
k
, наричаме нов вектор, който означаваме с
k
a
→
. Посоката на произведението
k
a
→
съвпада с посоката на
a
→
, когато числото
k
е положително и е противоположна, когато
k
е отрицателно. Големината на произведението е равна на произведението от големината на вектора и модула на числото:
k
a
→
=
k
a
→
.
Ако векторът
a
→
спрямо дадена координатна система има координати:
a
x
,
a
y
,
a
z
координатите на произведението са:
k
a
x
,
k
a
y
,
k
a
z
.
При умножаване на вектор с числото нула се получава нулев вектор:
0
a
→
=
0
, а при умножаване с 1 се получава същия вектор:
1
a
→
=
a
→
.
При умножение на вектор
a
→
с -1 се получава вектор, който означаваме с
−
a
→
. Този вектор е равен по големина на вектора
a
→
и има противоположна посока. Този вектор наричаме противоположен вектор на вектора
a
→
. Сумата на даден вектор с неговия противоположен вектор е нулев вектор:
a
→
+
−
a
→
=
0
.
Умножението на вектор с число е асоциативно:
k
l
a
→
=
kl
a
→
, за всеки две числа
k
и
l
и всеки вектор
a
→
.
Изваждане на вектори
Сумата на един вектор
a
→
с противоположния на друг вектор
b
→
наричаме разлика на два вектора. Разликата означаваме с:
a
→
−
b
→
и имаме:
a
→
−
b
→
=
a
→
+
−
b
→
.
Ако се построят представители на двата вектора с общо начало, то представител на разликата е насочената отсечка, която съединява върха на втория вектор с върха на първия.
Ако двата вектора са зададени с координатите си спрямо една координатна система, то разликата им има координати:
a
x
−
b
x
,
a
y
−
b
y
,
a
z
−
b
z
.
Скаларно произведение на вектори
Скаларно произведение
a
→
.
b
→
на два ненулеви вектора
a
→
и
b
→
наричаме число, равно на произведението от големините на векторите и косинуса на ъгъла между тях
α
:
a
→
.
b
→
=
a
→
.
b
→
cos
α
,
а ако някой от векторите е нулев, скаларното произведение по определение се приема за нула.
Скаларното произведение на вектори е дистрибутивно:
a
→
.
b
→
+
c
→
=
a
→
.
b
→
+
a
→
.
c
→
.
Ако векторите
a
→
и
b
→
са зададени с координатите си спрямо декартова координатна система
a
x
,
a
y
,
a
z
и
b
x
,
b
y
,
b
z
, скаларното произведение се изразява по формулата:
a
→
.
b
→
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Copyright© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org