Записките се преместени на нов сайт!

Полярни координати

Освен чрез декартови координати положението на една точка в равнината може да се определи еднозначно и с други величини, които общо наричаме криволинейни координати на точката. (Наричат се така, защото множествата от точки, които се различават по стойността само на една от тези величини, представляват в общия случай криви линии). Един от възможните видове криволинейни координати са полярните координати. Полярни координати са: разстоянието от дадена точка до началото на координатната система ρ и ъгълът ϕ , отчитан в посока обратна на часовниковата стрелка, между положителната посока на абсцисната ос и радиус вектора на точката.

Ако са известни полярните координати ρ и ϕ на една точка в равнината, нейните декартови координати са:

x = ρ cos ϕ и y = ρ sin ϕ .

Ако от една страна повдигнем на квадрат и съберем тези равенства, а от друга - разделим второто на първото, получаваме:

x 2 + y 2 = ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ = ρ 2 ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = ρ 2 и y x = sin ϕ cos ϕ = tg ϕ .

Следователно, формулите по които бихме могли да намерим полярните координати ρ и ϕ , когато са известни декартовите координати x и y са:

ρ = x 2 + y 2 и ϕ = arctg y x .

Полученият по втората формула ъгъл ϕ има правилна стойност само когато точката е в първи квадрант ( x > 0 и y > 0 ). Ако точката е във втори ( x < 0 и y > 0 ) или трети ( x < 0 и y < 0 ) квадрант, към получената стойност трябва да се прибави π , а ако е в четвърти квадрант ( x > 0 и y < 0 ) към получената стойност трябва да се прибави 2 π .

Някои от обичайните приложения на полярните координати е при изучаване на движението по окръжност, за представяне на комплексни числа и др.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред