Записките се преместени на нов сайт!
Комплексни числа
Както е известно уравнението:
i
2
=
−
1
няма решение в множеството на реалните числа. В математиката все пак се допуска, че това уравнение има решение, което представлява число, наречено имагинерна единица. Имагинерната единица
i
може да участва в аритметични действия: събиране, изваждане, умножение и деление заедно с реалните числа. Произведенията
iy
на различни от нула реални числа
y
с имагинерната единица
i
се наричат имагинерни числа, а сумите:
z
=
x
+
iy
,
в които
x
и
y
са произволни реални числа, а
i
- имагинерната единица, се наричат комплексни числа. Реалното число
x
се нарича реална част на комплексното число
z
, а
y
- имагинерна част. Множеството на комплексните числа представлява разширение на множеството на реалните числа, защото включва реалните числа като свое подмножество. Реалните числа са комплексни числа с имагинерна част 0. На практика действия събиране, изваждане, умножение и деление с комплексни числа се извършват по същите правила, както действията с реални числа и само, където е необходимо се прилага свойството на имагинерната единица
i
2
=
−
1
.
Ако приемем, че реалните и имагинерните части на комплексните числа са декартови координати на точки в равнината, то на всяко комплексно число съответства точно една точка в равнината и обратно - всяка точка в равнината съответства на едно единствено комплексно число. Следователно, докато реалните числа се изобразяват като точки върху ос, комплексните числа могат да се изобразяват с точки в равнина, която наричаме комплексна равнина. Две комплексни числа
z
1
=
x
1
+
i
y
1
и
z
2
=
x
2
+
i
y
2
са равни, ако са равни както техните реални части:
x
1
=
x
2
, така и имагинерните им части:
y
1
=
y
2
. Две равни комплексни числа се изобразяват с една и съща точка в комплексната равнина.
Ако за определяне положението на точките в равнината, съответстващи на комплексни числа, използваме полярни координати
ρ
и
ϕ
, вместо декартови координати
x
=
ρ
cos
ϕ
и
y
=
ρ
sin
ϕ
, то комплексното число
z
, съответстващо на дадена точка, можем да представим в тригонометричен вид:
(1)
z
=
ρ
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
.
В тригонометричното представяне:
ρ
=
x
2
+
y
2
се нарича модул на комплексното число, а:
ϕ
=
arctg
y
x
- аргумент на комплексното число. Аргументът
ϕ
на едно комплексно число не е еднозначно определен, защото поради периодичността на трегонометричните функции промяната на аргумента с цяло число
2
π
, не променя нито реалната нито имагинерната част на комплексното число.
В теорията на комплексните числа е доказана следната формула на Ойлер:
(2)
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
=
e
i
ϕ
.
Ако вземем предвид, че косинуса е четна, а синуса нечетна функция, т.е.:
cos
(
−
ϕ
)
=
cos
ϕ
и
sin
(
−
ϕ
)
=
−
sin
ϕ
, може да заменим
ϕ
с
−
ϕ
и да получим и друга формула на Ойлер:
(3)
cos
ϕ
−
i
sin
ϕ
=
e
−
i
ϕ
.
Сега ако веднъж съберем двете формули, а после ги извадим получаваме още две формули на Ойлер:
(4)
cos
ϕ
=
e
i
ϕ
+
e
−
i
ϕ
2
и
(5)
sin
ϕ
=
e
i
ϕ
−
e
−
i
ϕ
2
i
.
В тригонометричното представяне (1) на едно комплексно число може да заменим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (2) и да получим следното представяне на комплексното число:
(6)
z
=
ρ
e
i
ϕ
.
Комплексното число:
z
*
=
x
-
iy
се нарича имагинерно спрегнато на комплексното число
z
=
x
+
iy
. Очевидно тригонометричният вид на имагинерно спрегнатото число е:
z
*
=
ρ
(
sin
ϕ
−
i
sin
ϕ
)
,
а ако заместим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (3), получаваме тригонометричния вид на имагинерно спрегнатото число:
(7)
z
*
=
ρ
e
−
i
ϕ
.
От (6) и (7) следва:
z
z
*
=
ρ
2
.
Имагинерно спрегнатото
z
*
на едно комплексно число
z
е равно на самото число, т.е.
z
=
z
*
, когато имагинерната част на числото
y
удовлетворява уравнението:
y
=
−
y
, което има единствено решение:
y
=
0
. Следователно, удовлетворяването на уравнението:
z
=
z
*
е необходимо и достатъчно условие комплексното число
z
да е реално число.
Copyright© Ваньо Георгиев, 2005 г. Въпроси и коментари пишете тук.
physics-bg.org