Записките се преместени на нов сайт!

Комплексни числа

Както е известно уравнението: i 2 = − 1 няма решение в множеството на реалните числа. В математиката все пак се допуска, че това уравнение има решение, което представлява число, наречено имагинерна единица. Имагинерната единица i може да участва в аритметични действия: събиране, изваждане, умножение и деление заедно с реалните числа. Произведенията iy на различни от нула реални числа y с имагинерната единица i се наричат имагинерни числа, а сумите:

z = x + iy ,

в които x и y са произволни реални числа, а i - имагинерната единица, се наричат комплексни числа. Реалното число x се нарича реална част на комплексното число z , а y - имагинерна част. Множеството на комплексните числа представлява разширение на множеството на реалните числа, защото включва реалните числа като свое подмножество. Реалните числа са комплексни числа с имагинерна част 0. На практика действия събиране, изваждане, умножение и деление с комплексни числа се извършват по същите правила, както действията с реални числа и само, където е необходимо се прилага свойството на имагинерната единица i 2 = − 1 .

Ако приемем, че реалните и имагинерните части на комплексните числа са декартови координати на точки в равнината, то на всяко комплексно число съответства точно една точка в равнината и обратно - всяка точка в равнината съответства на едно единствено комплексно число. Следователно, докато реалните числа се изобразяват като точки върху ос, комплексните числа могат да се изобразяват с точки в равнина, която наричаме комплексна равнина. Две комплексни числа z 1 = x 1 + i y 1 и z 2 = x 2 + i y 2 са равни, ако са равни както техните реални части: x 1 = x 2 , така и имагинерните им части: y 1 = y 2 . Две равни комплексни числа се изобразяват с една и съща точка в комплексната равнина.

Ако за определяне положението на точките в равнината, съответстващи на комплексни числа, използваме полярни координати ρ и ϕ , вместо декартови координати x = ρ cos ϕ и y = ρ sin ϕ , то комплексното число z , съответстващо на дадена точка, можем да представим в тригонометричен вид:

(1) z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) .

В тригонометричното представяне: ρ = x 2 + y 2 се нарича модул на комплексното число, а: ϕ = arctg y x - аргумент на комплексното число. Аргументът ϕ на едно комплексно число не е еднозначно определен, защото поради периодичността на трегонометричните функции промяната на аргумента с цяло число 2 π , не променя нито реалната нито имагинерната част на комплексното число.

В теорията на комплексните числа е доказана следната формула на Ойлер:

(2) cos ϕ + i sin ϕ = e i ϕ .

Ако вземем предвид, че косинуса е четна, а синуса нечетна функция, т.е.: cos ( − ϕ ) = cos ϕ и sin ( − ϕ ) = − sin ϕ , може да заменим ϕ с − ϕ и да получим и друга формула на Ойлер:

(3) cos ϕ − i sin ϕ = e − i ϕ .

Сега ако веднъж съберем двете формули, а после ги извадим получаваме още две формули на Ойлер:

(4) cos ϕ = e i ϕ + e − i ϕ 2 и

(5) sin ϕ = e i ϕ − e − i ϕ 2 i .

В тригонометричното представяне (1) на едно комплексно число може да заменим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (2) и да получим следното представяне на комплексното число:

(6) z = ρ e i ϕ .

Комплексното число:

z * = x - iy

се нарича имагинерно спрегнато на комплексното число z = x + iy . Очевидно тригонометричният вид на имагинерно спрегнатото число е:

z * = ρ ( sin ϕ − i sin ϕ ) ,

а ако заместим тригонометричните функции с експонента по формулата на Ойлер (3), получаваме тригонометричния вид на имагинерно спрегнатото число:

(7) z * = ρ e − i ϕ .

От (6) и (7) следва:

z z * = ρ 2 .

Имагинерно спрегнатото z * на едно комплексно число z е равно на самото число, т.е. z = z * , когато имагинерната част на числото y удовлетворява уравнението: y = − y , което има единствено решение: y = 0 . Следователно, удовлетворяването на уравнението: z = z * е необходимо и достатъчно условие комплексното число z да е реално число.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс