Записките се преместени на нов сайт!

Движение по окръжност

Когато траекторията на материална точка е крива линия, движението се нарича криволинейно движение. Когато траекторията е окръжност, движението се нарича движение по окръжност.

При движение по окръжност положението на материалната точка в даден момент време $t$ може да се определя еднозначно и чрез ъгъла $ϕ$ , наричан полярен ъгъл. Това е ъгъла между радиус-вектора $\vec{r}$ на материалната точка в момент $t$ и оста $Ox$ . Измерва се в радиани ( $rad$ ). При представяне на положението на материалната точка чрез полярния ъгъл законът за движението се представя чрез зависимостта на полярния ъгъл от времето:

$ϕ = ϕ (t)$

Между изменението на полярния ъгъл $ϕ$ и пътя, изминаван от материалната точка има връзка. Нека в последователните моменти време $t_{1}$ и $t_{2}$ , $ϕ$ да има съответни стойности $ϕ_{1}$ и $ϕ_{2}$ . Следователно, изменението му е: $Δ ϕ = ϕ_{2} - ϕ_{1}$ . Нека пътя, изминат от материалната точка за времето от $t_{1}$ до $t_{2}$ да е $Δ s$ .

Между пътя $Δ s$ и изменението на полярния ъгъл $Δ ϕ$ има връзка:

$Δ ϕ = \frac{Δ s}{r}$

където $r$ е радиусът на окръжността, представляваща траектория на материалната точка.

Величината:

(1) $ω_{с р .} = \frac{Δ ϕ}{Δ t}$

се нарича средна ъглова скорост на материалната точка, за интервала време $Δ t$ , а първата производна на полярния ъгъл по времето:

(2) $ω = ϕ' (t)$ .

се нарича моментна ъглова скорост.

Ъгловата скорост се измерва в единици $[ω] = \frac{rad}{s} = s^{- 1}$ .

Зависимостта на моментната ъглова скорост от времето: $ω = ω (t)$ се нарича закон за скоростта при движението по окръжност.

Ако в момент време $t_{1}$ ъгловата скорост е $ω_{1}$ , а в момент време $t_{2}$ - $ω_{2}$ , изменението й за интервала време $Δ t$ е: $Δ ω = ω_{2} - ω_{1}$ . Величината:

$α_{с р .} = \frac{Δ ω}{Δ t}$

се нарича средно ъглово ускорение на материалната точка, а първата производна на ъгловата скорост по времето:

$α = ω' (t)$

се нарича моментно ъглово ускорение.

Равномерно движение на материална точка по окръжност

Движението на материална точка по окръжност се нарича равномерно движение по окръжност, ако ъгловата скорост на материалната точка е постоянна величина $ω (t) = ω_{0} = const$ . Очевидно ъгловото ускорение в този случай е нула.

От (2) се получава обикновено диференциално уравнение: $\frac{d ϕ}{dt} = ω_{0}$ , след решаване на което (аналогично на извода на закона за движението при равномерно праволинейно движение) се получава закона за движението при равномерното движение по окръжност:

(3) $ϕ (t) = ϕ_{0} + ω_{0} t$ ,

където $ϕ_{0}$ е началният полярен ъгъл на материалната точка в момента $t = 0$ .

При равномерно движение по окръжност времето, за което материалната точка извършва всяка нова обиколка по окръжността, е едно и също. Очевидно след завършване на една обиколка и започване на нова движението се повтаря.

Такива движения, които след определен интервал от време се повтарят многократно се наричат периодични движения. Равномерното движение по окръжност е пример за периодично движение. Най-малкото време след, което едно периодично движение започва да се повтаря се нарича период. Периодът ще означаваме с $T$ . Очевидно периода на равномерното движение по окръжност е равно на времето, за което материалната точка завършва една пълна обиколка по окръжността. За една обиколка материалната точка описва ъгъл $Δ ϕ = 2 π$ и от (1) получаваме:

(4) $ω = \frac{2 π}{T}$ или $T = \frac{2 π}{ω}$ .

Последните две равенства дават връзката между периода $T$ и ъгловата скорост $ω$ при равномерното движение на материална точка по окръжност.

Броят на повторенията на едно периодично движение за единица време се нарича честота и се означава с $ν$ . При равномерно движение по окръжност честотата е равна на броя на обиколките, които извършва материалната точка за единица време. Тъй като продължителността на една обиколка е $T$ , броят на обиколките, извършени за единица време е $\frac{1}{T}$ , следователно връзката между период и честота е:

(5) $ν = \frac{1}{T}$ или $T = \frac{1}{ν}$ .

Като сравним (4) и (5) получаваме:

$ω = 2 π ν$ или $ν = \frac{ω}{2 π}$ - връзка между честотата и ъгловата скорост.

При разглеждане на произволно периодично движение също е удобно да се използва една величина със същото означение, както ъгловата скорост $ω$ при равномерното движение по окръжност, свързана с честотата $ν$ по същата формула: $ω = 2 π ν$ . Тази величина се нарича кръгова честота.

Теми

Съдържание

Конспект

Курс

Напред